2.4 Статистика Хотеллинга

Статистика Хотеллинга¹ является многомерным аналогом Т - статистики Стьюдента.

Имеется 2 выборки:

$T^2=\frac{mn}{n+m}(\vec{x}_{cp}-\vec{y}_{cp})^TW^{-1}(\vec{x}_{cp}-\vec{y}_{cp})$

$V_x=\sum(\vec{x}_i-\bar{x})^T(\vec{x}_i-\bar{x})$

$V_y=\sum(\vec{y}_i-\bar{y})^T(\vec{y}_i-\bar{y})$

$V_x=\sum_{i=1}^m(\vec{x}_i-\vec{m}_x)^T(\vec{x}_i-\vec{m}_x)$

$V_y=\sum_{i=1}^m(\vec{y}_i-\vec{m}_y)^T(\vec{y}_i-\vec{m}_y)$

Общая ковариационная матрица:

$W=\frac{V_x+V_y}{m+n-2}$

$T^2=\frac{mn}{n+m}(\vec{m}_{x}-\vec{m}_{y})^TW^{-1}(\vec{m}_{x}-\vec{m}_{y})$

$\frac{m+n-p-1}{(m+n-2)p}T^2\sim F(p,m+n-1-p)$ критериальная статистика

p-размерность; m=x(число х), n=y(число y)

Хотеллинг на APL:

z←Y Hotel P;X;Mx;Vx;My;Vy;W;mn
Vx←(⌽X)+.×X←X-[2]Mx←(+⌿X)÷↑⍴X
Vy←(⌽Y)+.×Y←Y-[2]My←(+⌿Y)÷↑⍴Y
W←(Vx+Vy)÷¯2++/mn←↑¨⍴¨x y 
z←(Mx-My)+.×(⍠W)+.×Mx-My
z←z×(×/mn)÷+/mn
p←1↓⍴X
z←z×((+/mn)-p+1)÷p×¯2++/mn
z←z,p,(+/mn)-p+1

¹. Гарольд Хотеллинг — американский экономист и статистик, автор модели линейного города. В 1919 году получил степень бакалавра по журналистике и магистра по математике в университете Вашингтон, доктора философии в Принстоне. ↩