2.3 Расстояние Махаланобиса

Расстояние Махаланобиса определяется как расстояние от наблюдаемой точки до центра тяжести в многомерном пространстве, определяемом коррелированными ( неортогональными) независимыми переменными. Эта мера позволяет, в частности, определить является ли данное наблюдение выбросом по отношению к остальным значениям независимых переменных. Если независимые переменные некоррелированы, то расстояние Махаланобиса совпадает с евклидовым расстояние.

Расстояние Махаланобиса¹-это расстояние от показаний до средних значений с учетом зависимости показаний друг от друга(ковариация).

$(\vec{x}-\vec{m})^T C^{-1}(\vec{x}-\vec{m})$

$t^2=n(x-M)'w^{-1}(x-M)$ квадрат расстояния Махаланобиса

$c=\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 0 &1 \end{vmatrix}$ $\vec{x}=\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \end{bmatrix}$ $\vec{M}=\begin{bmatrix} M_1\\ M_2 \end{bmatrix}$

$[x1-M1; x2-M2] \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} x_1- & M_1 \\x_2- & M_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} & \end{pmatrix}=(x_1-M_1)^2+(x_2-M_2)^2$

$C=\begin{bmatrix} \sigma _1^2 & 0 \\0 & \sigma _2^2 \end{bmatrix}$

$[x1-M1; x2-M2] \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} x_1- & M_1 \\x_2- & M_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{\sigma _1^2} &0 \\ 0 & \frac{1}{\sigma _2^2} \end{bmatrix} & \end{pmatrix}=\frac{(x_1-M_1)^2}{\sigma _1^2}+\frac{(x_2-M_2)^2 }{\sigma _2^2}$

Если $x_1$ и $x_2$ откатились в одну сторону(либо приблизились,либо отдалились,то это многовероятностное событие. Если отклонились на разные расстояния(т.е. один приблизился,а другой отклонился) то это маловероятностное событие.

Махаланобиc и ковариационная матрица на APL

 Z←MC Maxal X;C;M 
 (M C)←MC 
 Z←X+.×(⌹C)+.×X←X-M

∇CovM  
[0] Z←CovM X  
[1] Z←(⍉X)+.×X←X-[2](+⌿X)÷↑⍴X  
[2] Z←Z÷↑⍴X  
[3] ∇

Пример

 x1←1 3 4 6 
 x2←10 34 24 16 
 x3←5 5 3 9 
 x←x1 x2 x3 
 m←CovM⍉⊃x1 x2 x3 
 mn←mean¨x 
 r←∊(⊂mn m)Maxal¨⊂[1]⊃¨x 
 r 
3 3 3 3

¹. Прасанта Чандра Махаланобис (англ. Prasanta Chandra Mahalanobis) (29 июня 1893 — 28 июня 1972) — индийский математик и статистик. ↩